L’équation caractéristique $(E_c)$ associée à l’équation $(E_H)$ est $z^2+2z+2=0$ et admet deux racines non réelles conjuguées $z_1=-1+i$ et $z_2=\overline{z_1}=-1-i$ . On sait que les solutions de $(E_H)$ sur $\Rr$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto(\lambda \cos(x)+\mu\sin(x))e^{-x}$ , $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ .

Pour tout réel $x$ , $\cos(x)\ch(x)=\text{Re}\left(e^{ix}\ch(x)\right)= \frac{1}{2}\text{Re}\left(e^{(1+i)x}+e^{(-1+i)x}\right)$ . Notons $(E_1)$ l’équation $y''+2y'+2y=e^{(1+i)x}$ et $(E_2)$ l’équation $y''+2y'+2y=e^{(-1+i)x}$ . Si $f_1$ est une solution de $(E_1)$ et $f_2$ est une solution de $(E_2)$ alors $f_0= \frac{1}{2}\text{Re}(f_1+f_2)$ est une solution de $(E)$ sur $\Rr$ d’après le principe de superposition des solutions.

$(E_1)$ admet une solution particulière de la forme $f_1~:~x\mapsto ae^{(1+i)x}$ , $a\in\Cc$ . Pour tout réel $x$ ,

$f_1''(x)+2f_1'(x)+2f_1(x)=a((1+i)^2+2(1+i)+2)e^{(1+i)x}=a(4+4i)e^{(1+i)x}$

et $f_1$ est solution de $(E_1)$ sur $\Rr$ si et seulement si $a= \frac{1}{4+4i}= \frac{1-i}{8}$ . On obtient $f_1(x)= \frac{1-i}{8}e^{(1+i)x}$ .

$(E_2)$ admet une solution particulière de la forme $f_2~:~x\mapsto axe^{(-1+i)x}$ , $a\in\Cc$ . La formule de Leibniz fournit pour tout réel $x$ ,

$f_2''(x)+2f_2'(x)+2f_2(x)=a(((-1+i)^2x+2(-1+i))+2((-1+i)x+1)+2x)e^{(-1+i)x}=2iae^{(-1+i)x}$

et $f_2$ est solution de $(E_2)$ sur $\Rr$ si et seulement si $a= \frac{1}{2i}=- \frac{i}{2}$ . On obtient $f_2(x)=- \frac{i}{2}e^{(-1+i)x}$ .

Une solution particulière $f_0$ de $(E)$ sur $\Rr$ est donc définie pour tout réel $x$ par

$\begin{align*}\ensuremath f_0(x)&= \frac{1}{2}\text{Re}\left( \frac{1-i}{8}e^{(1+i)x}- \frac{i}{2}e^{(-1+i)x}\right)= \frac{1}{2}\text{Re}\left( \frac{1}{8}(1-i)(\cos(x)+i\sin(x))e^{x}- \frac{i}{2}(\cos(x)+i\sin(x))e^{-x}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{8}(\cos(x)+\sin(x))e^{x}+ \frac{1}{2}\sin(x)e^{-x}\right) \end{align*}$

$\mathcal{S}_\Rr=\left\{x\mapsto \frac{1}{16}(\cos(x)+\sin(x))e^{x}+ \frac{1}{4}\sin(x)e^{-x}+(\lambda \cos(x)+\mu\sin(x))e^{-x},\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\right\}$ .

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