L’équation caractéristique \((E_c)\) associée à l’équation \((E_H)\) est \(z^2+2z+2=0\) et admet deux racines non réelles conjuguées \(z_1=-1+i\) et \(z_2=\overline{z_1}=-1-i\). On sait que les solutions de \((E_H)\) sur \(\Rr\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto(\lambda \cos(x)+\mu\sin(x))e^{-x}\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

Pour tout réel \(x\), \(\cos(x)\ch(x)=\text{Re}\left(e^{ix}\ch(x)\right)= \frac{1}{2}\text{Re}\left(e^{(1+i)x}+e^{(-1+i)x}\right)\). Notons \((E_1)\) l’équation \(y''+2y'+2y=e^{(1+i)x}\) et \((E_2)\) l’équation \(y''+2y'+2y=e^{(-1+i)x}\). Si \(f_1\) est une solution de \((E_1)\) et \(f_2\) est une solution de \((E_2)\) alors \(f_0= \frac{1}{2}\text{Re}(f_1+f_2)\) est une solution de \((E)\) sur \(\Rr\) d’après le principe de superposition des solutions.

\((E_1)\) admet une solution particulière de la forme \(f_1~:~x\mapsto ae^{(1+i)x}\), \(a\in\Cc\). Pour tout réel \(x\),

\(f_1''(x)+2f_1'(x)+2f_1(x)=a((1+i)^2+2(1+i)+2)e^{(1+i)x}=a(4+4i)e^{(1+i)x}\)

et \(f_1\) est solution de \((E_1)\) sur \(\Rr\) si et seulement si \(a= \frac{1}{4+4i}= \frac{1-i}{8}\). On obtient \(f_1(x)= \frac{1-i}{8}e^{(1+i)x}\).

\((E_2)\) admet une solution particulière de la forme \(f_2~:~x\mapsto axe^{(-1+i)x}\), \(a\in\Cc\). La formule de Leibniz fournit pour tout réel \(x\),

\(f_2''(x)+2f_2'(x)+2f_2(x)=a(((-1+i)^2x+2(-1+i))+2((-1+i)x+1)+2x)e^{(-1+i)x}=2iae^{(-1+i)x}\)

et \(f_2\) est solution de \((E_2)\) sur \(\Rr\) si et seulement si \(a= \frac{1}{2i}=- \frac{i}{2}\). On obtient \(f_2(x)=- \frac{i}{2}e^{(-1+i)x}\).

Une solution particulière \(f_0\) de \((E)\) sur \(\Rr\) est donc définie pour tout réel \(x\) par

\[\begin{align*}\ensuremath f_0(x)&= \frac{1}{2}\text{Re}\left( \frac{1-i}{8}e^{(1+i)x}- \frac{i}{2}e^{(-1+i)x}\right)= \frac{1}{2}\text{Re}\left( \frac{1}{8}(1-i)(\cos(x)+i\sin(x))e^{x}- \frac{i}{2}(\cos(x)+i\sin(x))e^{-x}\right)\\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{8}(\cos(x)+\sin(x))e^{x}+ \frac{1}{2}\sin(x)e^{-x}\right) \end{align*}\]

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