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On considére le plan euclidien muni d’un un repère orthonormé ( $O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}$ ) et la courbe $(C)$ d’équation

$sqrt{3}x^{2} +6xy + \sqrt{3}y^{2} +2(\sqrt{3} - 6)x -2(3+\sqrt{3})y + 1 =0$

Montrer que cette courbe posséde un centre de symétrie $\Omega$ et donner son équation dans le repère ( $\Omega, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}$ )

Montrer que dans le repère ( $\Omega, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}$ ) la droite $\Delta$ d’équation $y = \sqrt{3}x$ est axe de symétrie.

On considère le repère orthonormé direct ( $\Omega, \overrightarrow {I},\overrightarrow{J}$ ) où $\overrightarrow {I}$ est un vecteur unitaire de $\Delta$ . Donner l’équation de $(C)$ dans ce repère.

Montrer que dans le repère ( $\Omega, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}$ ) la perpendiculaire $\Delta^{'}$ à $\Delta$ est axe de symétrie.

Sachant que $(C)$ est une hyperbole dessiner graphiquement $(C)$ dans le repère ( $O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath})$ .

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