L’objectif de ce problème est de résoudre l’énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la
propriété suivante : pour chaque mouton, il peut trouver une façon
de scinder
le troupeau des 100
autres moutons en deux troupeaux de 50 moutons et de même poids total. Il en
déduit que tous les moutons ont le même poids. Comment a-t-il fait ?
On montre,
dans un premier temps, un résultat utile pour la démonstration finale.
1
Montrer par récurrence que le déterminant de
toute matrice carrée, dont les éléments diagonaux sont des nombres impairs,
et dont tous les autres sont des nombres pairs, est un nombre impair.
2
En déduire qu’une matrice de cette forme est inversible.