On va prouver le théorème suivant :
Théorème : Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) telle qu’il existe deux constantes \(K,c >0\) vérifiant \(c < f''(x) \leq K\) pour tout \(x \in \Rr\). On considère la suite \((x_n)_{n \geq 0}\) définie par \(x_0 \in \Rr\) et par \(x_{n+1} = x_n - \gamma f'(x_n)\), où le pas \(\gamma\) vérifie \(0 < \gamma < 2/K\). Alors :
La suite \((f(x_n))_{n \ge 0}\) est décroissante.
La suite \((x_n)_{n \ge 0}\) converge vers l’unique point critique de \(f\).
Pour \(n \geq 0\) fixé, on pose \(\phi(t) = f(x_n- t f'(x_n))\).
Montrer qu’il existe \(\theta \in ]0,t[\) tel que \(\phi(t) = \phi(0)+t\phi'(0)+\frac{t^2}{2} \phi''(\theta)\).
Montrer que \(\phi'(0) = -f'(x_n)^2\) et \(\phi''(\theta) \leq f'(x_n)^2 K\).
Montrer que \(\phi(t) \leq \phi(0)\) pour tout \(0 \leq t < 2/K\).
En déduire que \(f(x_{n+1}) \leq f(x_n)\).
On introduit la fonction \(g(x) = x - \gamma f'(x)\).
On pose \(M = \sup_{x \in \Rr} |g'(x)|\). Montrer que \(M \leq \max\left( |1-\gamma c|, |1- \gamma K|\right)\), puis que \(M < 1\).
Montrer que pour tout \(n \geq 1\), on a \(|x_{n+1}-x_n| = |g(x_n)-g(x_{n-1})| < M |x_n-x_{n-1}|\).
Montrer que la suite \((x_n)_{n \geq 0}\) est convergente (on pourra considérer la série \(\sum x_{n+1}-x_n\)).
Montrer que la limite \(l\) de la suite \((x_n)_{n \geq 0}\). Montrer que \(f'(l)=0\).
Montrer que \(f\) ne possède qu’un seul point critique.