Soit \(A \in \mathcal{M}_N(\R)\) une matrice réelle symétrique définie positive et \(b\in \R^N\). On note \(\rho(A)\) le rayon spectral de la matrice \(A\). Pour résoudre le système \[Ax=b\] on considère la suite définie par \(x_0 \in \R^N\) et \(\sigma \in \R\) : \[x_{n+1} = x_n - \sigma(Ax_n-b)\]
1
Montrer que la méthode converge vers la solution \(x\) du système si et seulement si : \[0 < \sigma < \frac{2}{\rho(A)}\]
2
Comment choisir \(\sigma\) pour que optimiser la vitesse de convergence de cette méthode ? Exprimer le résultat en fonction de \(\rho(A)\) et \(\rho(A^{-1})\).