Soit \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) la matrice tridiagonale d’ordre \(n > 2\) définie par \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots && \\ & & -1 &2 &-1 \\ & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\]
On admet que l’ensemble des valeurs propres de \(A\) est \[sp(A) = \left\{ \lambda_k = 4 \sin^2\left(\frac{k\pi}{2(n+1)} \right) \, , \, k \in \{1,...,n \} \right\}\]
On souhaite résoudre un système linéaire \(AX=b\) à l’aide d’une méthode itérative et on note \(X\) sa solution.
Exprimer la suite des itérés de la méthode de Jacobi sous la forme \(X^{(k+1)}=BX^{(k)}+C\) en exprimant la matrice \(B\) en fonction de la matrice identité \(I_n\) et de la matrice \(A\). La matrice \(A\) est-elle à diagonale strictement dominante ?
On définit l’erreur \(e^{(k)}=X^{(k)}-X\) à la \(k\)-ème itération. Exprimer \(e^{(k)}\) en fonction de \(e^{(k-1)}\) et en déduire que \(\Vert e^{(k)}\Vert \leq \vvvert B\vvvert^k\Vert e^{(0)}\Vert\) où \(\Vert.\Vert\) est une norme quelconque sur \(\mathbb{R}^{n}\) et \(\vvvert.\vvvert\) la norme induite sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Calculer \(\vvvert B\vvvert_{\infty}\). Qu’en conclure ?
Vérifier que le rayon spectral de \(B\) est \(\rho(B)=\cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)\).
En déduire que la méthode de Jacobi converge pour la matrice \(A\) quelque soit l’initialisation.