L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement 4 questions

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(Écrasement d’une partie d’un ensemble) Soit XX un ensemble. Pour tout sous-ensemble A⊆XA\subseteq X, on définit la relation binaire ∼A\sim_A sur XX comme suit: ∀(x,y)∈X2, x∼Ay  ⟺  (x=y ou (x∈A et y∈A)).\forall (x,y)\in X^2, \: x\sim_A y \iff \left(x=y \text{ ou } \left(x\in A\text{ et } y\in A\right)\right).

1

Montrer que c’est une relation d’équivalence sur XX. Quelles sont ses classes d’équivalence ?

2

Soit ff une fonction de XX dans un ensemble EE, constante sur AA. Montrer qu’elle descend au quotient en une application [f]:X/∼A→E[f] : X/\sim_A \to E.

3

Montrer que pour tout ensemble EE, l’application ϕ:{f∈F(X,E), | f est constante sur A}→F(X/∼A,E),\phi : \left\{f\in \mathcal F(X,E),\:\middle| \: f\text{ est constante sur } A\right\} \to \mathcal F(X/\sim_A, E), qui à ff associe [f][f] est surjective.

4

Identifier, parmi les relations d’équivalence étudiées dans le cours et les exercices du chapitre, celles qui sont des cas particuliers d’écrasements de parties.

Exercice FreE

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