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Soit \(f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}\) une application vérifiant : \[\forall n\in \Nn^{*},f(n+1)>f(f(n)).\] Montrer que \(f=Id_{\Nn^{*}}.\) Indications : que dire de \(k\in \Nn\) tel que \(f(k)=\inf \{f(n)|n\in \Nn\}\)? En déduire que \(\forall n>0,f(n)>f(0).\) Montrer ensuite que \(\forall n\in \Nn,\) on a: \(\forall m>n,f(m)>f(n)\) et \(\forall m\leq n,f(m)\geq m\) (on pourra introduire \(k\) tel que \(f(k)\) soit le plus petit entier de la forme \(f(m)\) avec \(m>n\)). En déduire que \(f\) est strictement croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au problème. Laquelle ?