exo7 182

Soit $f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}$ une application vérifiant : $$\forall n\in \Nn^{*},f(n+1)>f(f(n)).$$ Montrer que $f=Id_{\Nn^{*}}.$ Indications : que dire de $k\in \Nn$ tel que $f(k)=\inf \{f(n)|n\in \Nn\}$? En déduire que $\forall n>0,f(n)>f(0).$ Montrer ensuite que $\forall n\in \Nn,$ on a: $\forall m>n,f(m)>f(n)$ et $\forall m\leq n,f(m)\geq m$ (on pourra introduire $k$ tel que $f(k)$ soit le plus petit entier de la forme $f(m)$ avec $m>n$). En déduire que $f$ est strictement croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au problème. Laquelle ?