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Pour $z\in\Cc$ , on pose $\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$ , $\sh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$ et $\tanh z=\frac{\sh z}{\ch z}$ .

Quels sont les nombres complexes $z$ pour lesquels $\tanh z$ existe ?

Résoudre dans $\Cc$ l’équation $\tanh z=0$ .

Résoudre dans $\Cc$ le système $\left\{ \begin{array}{l} |\Im z|<\frac{\pi}{2}\\ |\tanh z|<1 \end{array}\right.$ .

Montrer que la fonction $\tanh$ réalise une bijection de $\Delta=\{z\in\Cc/\;|\Im z|<\frac{\pi}{4}\}$ sur $U=\{z\in\Cc/\;|z|<1\}$ .

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