Pour \(z\in\Cc\), on pose \(\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\), \(\sh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})\) et \(\tanh z=\frac{\sh z}{\ch z}\).
1
Quels sont les nombres complexes \(z\) pour lesquels \(\tanh z\) existe ?
2
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(\tanh z=0\).
3
Résoudre dans \(\Cc\) le système \(\left\{ \begin{array}{l} |\Im z|<\frac{\pi}{2}\\ |\tanh z|<1 \end{array}\right.\).
4
Montrer que la fonction \(\tanh\) réalise une bijection de \(\Delta=\{z\in\Cc/\;|\Im z|<\frac{\pi}{4}\}\) sur \(U=\{z\in\Cc/\;|z|<1\}\).