\(P(X) = -1 + Q(X)\times(X-1)^n \Leftrightarrow (X+1)^n \mid Q(X)(X-1)^n-2 \Leftrightarrow X^n \mid Q(X-1)(X-2)^n-2\). Soit \(2 = A(X)(X-2)^n + X^nB(X)\) la division suivant les puissances croissantes de \(2\) par \((X-2)^n\) à l’ordre \(n\). On obtient \(X^n\mid Q(X-1)-A(X)\) soit \(Q(X) = A(X+1) + X^nR(X)\) et \(\deg(P)< 2n \Leftrightarrow R=0\). Calcul de \(A(X)\) par développement limité : \(\frac{1}{(1+x)^n} = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{-n}{k}x^k + O(x^n)\) donc : \[A(X) = \frac{(-1)^n}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{-n}{k}\frac{(-1)^kX^k}{2^k} = \sum_{k=0}^{n-1}C_{n+k-1}^k(-1)^n\frac{X^k}{2^{n+k-1}}\]

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