$F=\frac{4X^6-2X^5+11X^4-X^3+11X^2+2X+3}{X(X^2+1)^3}$ . La décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme $F=\frac{a}{X}+\frac{bX+c}{(X^2+1)^3}+\frac{dX+e}{(X^2+1)^2}+\frac{fX+g}{X^2+1}$ . Il est difficile d’obtenir les coefficients par substitution.

On va ici se contenter de trouver $a$ : on multiplie $F$ par $X$ , puis on remplace $X$ par $0$ , on obtient $a=3$ . On fait la soustraction $F_1=F-\frac{a}{X}$ . On sait que la fraction $F_1$ doit se simplifier par $X$ . On trouve $F_1=\frac{X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2}{(X^2+1)^3}$ . La fin de la décomposition se fait par divisions euclidiennes successives. Tout d’abord la division du numérateur $X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2$ par $X^2+1$ : $X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)(X^3-2X^2+X+1)+X+1$ puis on recommence en divisant le quotient obtenu par $X^2+1$ , pour obtenir $X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1$ On divise cette identité par $(X^2+1)^3$ : $F_1 = \frac{(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1}{(X^2+1)^3} = \frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}$ Ainsi $F= \frac{3}{X}+\frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}$

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