\(F=\frac{4X^6-2X^5+11X^4-X^3+11X^2+2X+3}{X(X^2+1)^3}\). La décomposition en éléments simples de \(F\) est de la forme \(F=\frac{a}{X}+\frac{bX+c}{(X^2+1)^3}+\frac{dX+e}{(X^2+1)^2}+\frac{fX+g}{X^2+1}\). Il est difficile d’obtenir les coefficients par substitution.

On va ici se contenter de trouver \(a\) : on multiplie \(F\) par \(X\), puis on remplace \(X\) par \(0\), on obtient \(a=3\). On fait la soustraction \(F_1=F-\frac{a}{X}\). On sait que la fraction \(F_1\) doit se simplifier par \(X\). On trouve \(F_1=\frac{X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2}{(X^2+1)^3}\). La fin de la décomposition se fait par divisions euclidiennes successives. Tout d’abord la division du numérateur \(X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2\) par \(X^2+1\): \[X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)(X^3-2X^2+X+1)+X+1\] puis on recommence en divisant le quotient obtenu par \(X^2+1\), pour obtenir \[X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1\] On divise cette identité par \((X^2+1)^3\) : \(F_1 = \frac{(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1}{(X^2+1)^3} = \frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}\) Ainsi \[F= \frac{3}{X}+\frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}\]

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