On a : \[\begin{align*} P_n(0) & =(1)^{2 n}-0-0-1=0 \\ P_n(-1) & =(-1+1)^{2 n}-(-1)^{2 n}-2 \cdot(-1)-1=0-1+2-1=0 \\ P_n\left(-\frac{1}{2}\right) & =\left(-\frac{1}{2}+1\right)^{2 n}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2 n}-2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n}+1-1=0 \end{align*}\]

\(0\) racine signifie que \(X\) divise \(P_n(X): P_n(X)=X Q_1(X)\); \(-1\) racine signifie que \((X+1)\) divise \(P_n(X): P_n(X)=(X+1) \underbrace{Q_2(X)}_{X \cdot Q_3(X)}=X \cdot(X+1) Q_3(X)\); \(-\frac{1}{2}\) racine signifie que \((2 X+1)\) divise \(P_n(X)\) : \[P_n(X)=(2 X+1) \cdot Q_4(X)=\underbrace{X (X+1) (2 X+1)}_{Q(X)} \cdot Q_5(X)\] donc \(Q(X)=X(X+1)(2 X+1)\) divise \(P_n(X)=(X+1)^{2 n}-X^{2 n}-2 X-1\).

Divisibilité et racines