exo7 5150

Soient $n\in\Nn^*$ et $a_1$, $a_2$,..., $a_n$, $b_1$, $b_2$,..., $b_n$, $2n$ réels. Montrer que

$$|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k|\leq\sum_{k=1}^{n}|a_k|.|b_k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}.$$

(Indication. Considérer le polynôme $f(x)=\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_kx)^2$, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantes puis utiliser, dans le cas général, les connaissances sur le second degré). Retrouver alors le résultat de l’exercice [exo:suprou4bis].