Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert connexe \(\Omega\). Soit \(c\) un point de \(\Omega\) et \(r_0>0\) tel que \(D(c,r_0)\subset \Omega\), où \(D(c,r_0)\) est le disque ouvert de centre \(c\) et de rayon \(r_0\). On pose \(\mu (r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}f(c+re^{i\theta })d\theta\) pour \(0<r<r_0\).
Montrer que \[\lim_{r\to 0^+}\mu (r)=f(c)\]
On suppose \(f'(z)\) continue. Montrer que \(\mu\) est constante (on montrera que \(\displaystyle{d\mu \over dr}=0\) en dérivant sous le signe d’intégration).
Soit maintenant \(M=\sup_{z\in \Omega }\vert f(z)\vert\) et on suppose qu’il existe \(c\in \Omega\) tel que \(\vert f(c)\vert =M\).
Montrer que \(M=\vert f(c+re^{i\theta })\) où \(r>0\) est tel que \(D(c,r)\subset \Omega\).
Soit \(V=\{ z\in \Omega \vert \ \vert f(z)\vert =M\}\). Montrer que \(V\) est à la fois un ouvert et un fermé de \(\Omega\). En déduire le principe du maximum : si \(f\) atteint son maximum en un point d’un ouvert connexe \(\Omega\), alors \(f\) est constante.