OpenYourMath

Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $\Omega$ . Soit $c$ un point de $\Omega$ et $r_0>0$ tel que $D(c,r_0)\subset \Omega$ , où $D(c,r_0)$ est le disque ouvert de centre $c$ et de rayon $r_0$ . On pose $\mu (r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}f(c+re^{i\theta })d\theta$ pour $0<r<r_0$ .

Montrer que $\lim_{r\to 0^+}\mu (r)=f(c)$

On suppose $f'(z)$ continue. Montrer que $\mu$ est constante (on montrera que $\displaystyle{d\mu \over dr}=0$ en dérivant sous le signe d’intégration).

Soit maintenant $M=\sup_{z\in \Omega }\vert f(z)\vert$ et on suppose qu’il existe $c\in \Omega$ tel que $\vert f(c)\vert =M$ .

Montrer que $M=\vert f(c+re^{i\theta })$ où $r>0$ est tel que $D(c,r)\subset \Omega$ .

Soit $V=\{ z\in \Omega \vert \ \vert f(z)\vert =M\}$ . Montrer que $V$ est à la fois un ouvert et un fermé de $\Omega$ . En déduire le principe du maximum : si $f$ atteint son maximum en un point d’un ouvert connexe $\Omega$ , alors $f$ est constante.

exo7 6735

Signaler une erreur