Lorsqu’un espace vectoriel \(E\) est en outre muni d’une multiplication, l’application \({N:\ E \rightarrow \mathbb{R}}\) est dite norme multiplicative si:
\(N\) est une norme,
pour tous \(A\) et \(B\) dans \(E\), \(N(A.B)\leq N(A).N(B)\).
Soit \(E=M_n(\mathbb{R})\), l’espace vectoriel des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes. \(A\in E\) se note \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\)
Montrer que \(\displaystyle N_{\infty }(A)= \max_{1\leq i\leq n}\{\ \sum_{j=1}^n|a_{i,j}|\ \}\) définit une norme multiplicative sur \(E\).
Montrer que \(\displaystyle N_{\infty }(A)=\max_{\{ X\in \mathbb{R}^n,\ \|{X}\|_\infty=1\} } \{\ \| {A.X}\|_\infty \}\).
Soit \(A\in M_n(\mathbb{R})\) telle que \(\displaystyle \forall \ 1\leq i \leq n,\ |a_{i,i}|> \sum_{j=1,j\neq i}^n|a_{i,j}|\) et \(D\) la matrice diagonale formée avec les éléments diagonaux de \(A\). Soit aussi \(F\) un vecteur de \(\mathbb{R}^n\). On considère la suite des \(X^{(p)}\in \mathbb{R}^n\) définie pour \(p\geq 0\) par: \[\left\{ \begin{array}{lll} X^{(0)} &=X_0\in \mathbb{R}^n &\\ X^{(p+1)} &=(I-D^{-1}A)X^{(p)}+D^{-1}F &\mbox{ pour p}\geq 0 \end{array} \right.\] Montrer qu’elle est convergente et calculer sa limite.