Soit \(K\) vérifiant les propriétés (i), (ii), (iii). Il nous faut montrer que \(p(x)\) est bien définie pour tout \(x\); que \(p\) est une norme et que \(K\) est la boule unité fermée qui lui est associée.

Si \(x=0\), \({x\over a}\in K\) pour tout \(a>0\) et \(p(0)=0\). Si \(x\not=0\), l’ensemble \(\{a>0\ ;\ {x\over a}\in K\}\) est minoré; s’il est non vide il admettra une borne inférieure. Or \(0\) est point intérieur à \(K\); il existe donc \(\varepsilon >0\) tel que \(B(0,\varepsilon)\subset K\) et pour \(a\) assez grand, \({||x||\over a}\leq \varepsilon\), en particulier \({x\over a}\in K\), et l’ensemble est non vide.

Vérifions les trois axiomes d’une norme.

\(\bullet\) Par définition d’une borne inférieure, \(p(x)=0\Longrightarrow \forall\varepsilon>0 \ \exists\ 0<a< \varepsilon\) tel que \({x\over a}\in K\). \(K\) étant borné, on peut supposer que \(K\subset \overline B(0,R)\), de sorte que \(||{x\over a}||\leq R\) ou \(||x||\leq \varepsilon R\), ceci pour tout \(\varepsilon>0\), ce qui implique \(x=0\).

\(\bullet\) Soit \(\lambda>0\); \(p(\lambda x)= \inf\{a>0\ ;\ {\lambda x\over a}\in K\}=\inf\{\lambda b>0\ ;\ {x\over b}\in K\}\) en posant \(a=\lambda b\), et \(p(\lambda x)=\lambda p(x)\).

Il suffit de montrer que \(p(- x)=p(x)\) pour avoir la propriété d’homogénéité. Mais \(p(- x)=\inf\{a>0\ ;\ -{ x\over a}\in K\}=\inf\{a>0\ ;\ { x\over a}\in -K\}=p(x)\) car \(K\) est symétrique.

\(\bullet\) En utilisant la définition d’une borne inférieure, on va montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), \(p(x+y)\leq p(x)+p(y)+2\varepsilon\) ce qui donnera le résultat.

Donc, fixons \(\varepsilon>0\); on peut trouver \(a>0\) tel que \(p(x)\leq a<p(x)+\varepsilon\) et \({ x\over a}\in K\), puis \(b>0\) tel que \(p(y)\leq b<p(y)+\varepsilon\) et \({y\over b}\in K\). Si \({ x+y\over a+b}\in K\), alors \(p(x+y)\leq a+b\) par propriété de la borne inf et on aura prouvé \(p(x+y)\leq p(x)+p(y)+2\varepsilon\).

Mais \({ x+y\over a+b}\) s’écrit \({ a\over a+b}{x\over a}+{ b\over a+b}{y\over b}\), combinaison convexe de \({ x\over a}\) et \({ y\over b}\), et \(K\) est supposé convexe. La preuve de l’inégalité triangulaire est ainsi achevée.

Il nous reste à établir \(K=\{x\ ;\ p(x)\leq 1\}\).

Si \(x\in K\) et \(a=1\), \({ x\over a}\in K\) ce qui implique \(p(x)\leq 1\). Réciproquement supposons \(p(x)\leq 1\); on peut supposer \(x\not=0\). Si \(p(x)<1\), il existe \(p(x)\leq a<1\) tel que \({x\over a}\in K\); mais \(x=a{x\over a}+(1-a)0\) est encore dans \(K\).

Si \(p(x)=1\) il existe \((a_n)\) suite de nombres positifs tels que \({x\over a_n}\in K\) pour tout \(n\) et tendant vers \(1\). Mais \(K\) étant fermé, \(x=\lim{x\over a_n}\in K\).

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