Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de \(E\) et \(A\) un compact de \(E\).
1
Montrer que l’application de \(E\) dans \(\R\) qui à \(y\) associe \(\|y\|\) est continue.
2
Montrer que l’application de \(E\) dans \(\R\) qui à \(y\) associe \(\|y-x\|\) est continue.
3
Montrer que la distance de \(x\) à \(A\) est atteinte, c’est-à-dire qu’il existe \(a\in A\) tel que \[\inf_{y\in A}\|y-x\| = \|a-x\|.\]