Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.
Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une
application \(N\) de \(E\) dans \(\Rr^+\) telle que \(N(\lambda x)=\vert\lambda\vert
N(x)\), et telle que \(\{y/N(y)\leq1\}\) soit convexe. Montrer que
\[N(x+y)\leq 2\sup(N(x), N(y)), \ \ x,y\in E.\]