\((-1)^na_n= \int_{t=0}^1t(1-t)(1-t/2)\dots(1-t/n)\,d t\). Pour \(0\le x\le\frac12\) on a \(x\le-\ln(1-x)\le x+x^2\) (étude de fonction) donc pour \(k\ge 2\) et \(0\le t\le 1\) : \(e^{-t/k-t^2/k^2}\le 1-t/k\le e^{-t/k}\) d’où :

\[b_n = \int_{t=0}^1t(1-t)e^{-t(H_n-1)-t^2K_n}\,d t\le (-1)^na_n \le \int_{t=0}^1te^{-tH_n}\,d t = c_n\] avec \(H_n = 1+1/2+\dots+1/n\) et \(K_n = 1/2^2+\dots+1/n^2\).

Équivalent du majorant : \[c_n = \frac{1-(1+H_n)e^{-H_n}}{H_n^2}\sim\frac1{H_n^2}.\]

Équivalent du minorant : \[\begin{align*}b_n&\ge \int_{t=0}^1t(1-t)(1-t^2K_n)e^{-t(H_n-1)}\,d t\cr &= \int_{t=0}^1te^{-t(H_n-1)}\,d t - \int_{t=0}^1t^2(1+t(1-t)K_n)e^{-t(H_n-1)}\,d t\cr &\ge \int_{t=0}^1te^{-t(H_n-1)}\,d t - (1+{\textstyle\frac14}K_n) \int_{t=0}^1t^2e^{-t(H_n-1)}\,d t\cr &\ge \frac{1-H_ne^{1-H_n}}{(H_n-1)^2} - (1+{\textstyle\frac14}K_n)\frac{2-(H_n^2+1)e^{1-H_n}}{(H_n-1)^3}\cr &\sim\frac1{H_n^2}.\cr\end{align*}\] Finalement, \(a_n\sim\frac{(-1)^n}{H_n^2}\sim\frac{(-1)^n}{\ln^2n}\).

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