Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de \(E\) et \(x \in E\) un point, appartenant ou non à \(F\). Montrer qu’il existe un point \(\bar{x} \in F\) tel que \[\| x - \bar{x} \| = \inf_{z \in F} \| x - z \| .\] (Question subsidiaire: ce point est-il unique?)
On se place désormais dans l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_2 ( \mathbb{R})\) des matrices \(2 \times 2\) à coefficients réels, muni de la norme \[\left\| \left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array} \right) \right\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\] et on considère l’ensemble \(\text{SL}_2 (\mathbb{R})\) des matrices \(\left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array} \right)\) de déterminant égal à \(1\).
Montrer que \(\text{SL}_2(\mathbb{R})\) est fermé dans \(\mathcal{M}_2 (\mathbb{R})\).
Montrer que \(\text{SL}_2(\mathbb{R})\) n’est pas bornée.
Soit \(f : \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\) la fonction qui à une matrice \(M\) associe \(f (M ) = \| M \|\). On cherche la ou les matrices \(M\) réalisant l’infimum de la fonction \(f\) sur \(\text{SL}_2(\mathbb{R})\), autrement dit la ou les matrices les plus proches de la matrice nulle.
Montrer que \(f_{|\text{SL}_2(\mathbb{R})}\) est minorée et atteint son infimum.
Calculer le gradient de \(f\). Est-il toujours défini?
Trouver le ou les extrema de \(f_{|\text{SL}_2(\mathbb{R})}\). Montrer qu’il s’agit du minimum et en déduire \[\inf_{M \in \text{SL}_2 (\mathbb{R})} \| M \|.\]