L2 Géométrie Géométrie affine dans le plan et dans l'espace Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 7432

Soit le plan affine EE muni du repère cartésien (A,u⃗,v⃗)(A,\vec{u},\vec{v}). On considère l’application ff qui à tout M(xy)\displaystyle M\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right) associe le point M′(2x−5y+3−4x+10y−1)M'\left(\begin{array}{c} 2x-5y+3\\-4x+10y-1\end{array}\right).

1

Montrer que ff est affine et écrire la matrice de son application linéaire associée f⃗\vec{f} dans la base (u⃗,v⃗)(\vec{u},\vec{v}).

2

Déterminer les points fixes de ff.

3

Montrer que Imf⃗Im\vec{f} et Kerf⃗Ker\vec{f} sont supplémentaires dans E⃗\vec{E}. Donner une base de chacun de ces sous-espaces.

Exercice Hmge

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