Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté unité et \(T_0\) son intérieur. On considère les figures géométriques \(T_n\) obtenues par récurrence de la manière suivante : sur chaque côté \(MN\) de \(T_{n-1}\), on ajoute l’intérieur d’un triangle équilatéral \(PQR\), où \(P\) et \(Q\) sont sur le segment \([MN]\), aux tiers de sa longueur, et \(R\) est extérieur à \(T_{n-1}\). Finalement on définit le sous-ensemble du plan \(K\) par \[K = \bigcup_{n\geq 0} T_n.\]
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Faire un dessin resprésentant \(T_0\), \(T_1\), \(T_2\)...
2
Donner l’aire de \(T_n\) sous forme de série. Quelle est l’aire de \(K\) ?
3
Mêmes questions avec le périmètre, puis le diamètre de \(T_n\) et \(K\).