Tout d’abord $\begin{align*} Q &= (1+X+...+X^n)' \\ &= (\frac{X^{n+1}-1}{X-1})' \\ &= \frac{(n+1)X^n(X-1)-X^{n+1}}{(X-1)^2} \\ &= \frac{nX^{n+1}-(n+1)X^n+1}{(X-1)^2}. \end{align*}$

Ensuite, $\omega_0=1$ et donc, $Q(\omega_0)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ . Puis, pour $1\leq k\leq n-1$ , $\omega_k\neq1$ et donc, puisque $\omega_k^n=1$ ,

$Q(\omega_k)=\frac{n\omega_k^{n+1}-(n+1)\omega_k^n+1}{(\omega_k-1)^2}=\frac{n\omega_k-(n+1)+1}{(\omega_k-1)^2} =\frac{n}{\omega_k-1}.$

Par suite,

$\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n(n+1)}{2}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{n}{\omega_k-1}=\frac{n^n(n+1)}{2\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)}.$

Mais, $X^n-1=(X-1)(1+X+...+X^{n-1})$ et d’autre part $X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=(X-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega_k)$ . Par intégrité de $\Rr[X]$ , $\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=1+X+...+X^{n-1}$ (Une autre rédaction possible est : $\forall z\in\Cc,\;(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=(z-1)(1+z+...+z^{n-1})$ et donc $\forall z\in\Cc\setminus\{1\}$ , $\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}$ et finalement $\forall z\in\Cc,\;\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}$ car les deux polynômes ci-contre coincident en une infinité de valeurs de $z$ .)

En particulier, $\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega_k)=1+1^2+...+1^{n-1}=n$ ou encore $\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)=(-1)^{n-1}n$ . Donc,

$\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n^n(n+1)}{2}\frac{1}{(-1)^{n-1}n}=\frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}(n+1)}{2}.$

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