Tout d’abord \[Q=(1+X+...+X^n)'=(\frac{X^{n+1}-1}{X-1})'=\frac{(n+1)X^n(X-1)-X^{n+1}}{(X-1)^2}=\frac{nX^{n+1}-(n+1)X^n+1}{(X-1)^2}.\]

Ensuite, \(\omega_0=1\) et donc, \(Q(\omega_0)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Puis, pour \(1\leq k\leq n-1\), \(\omega_k\neq1\) et donc, puisque \(\omega_k^n=1\),

\[Q(\omega_k)=\frac{n\omega_k^{n+1}-(n+1)\omega_k^n+1}{(\omega_k-1)^2}=\frac{n\omega_k-(n+1)+1}{(\omega_k-1)^2} =\frac{n}{\omega_k-1}.\]

Par suite,

\[\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n(n+1)}{2}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{n}{\omega_k-1}=\frac{n^n(n+1)}{2\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)}.\]

Mais, \(X^n-1=(X-1)(1+X+...+X^{n-1})\) et d’autre part \(X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=(X-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega_k)\). Par intégrité de \(\Rr[X]\), \(\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=1+X+...+X^{n-1}\) (Une autre rédaction possible est : \(\forall z\in\Cc,\;(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=(z-1)(1+z+...+z^{n-1})\) et donc \(\forall z\in\Cc\setminus\{1\}\), \(\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}\) et finalement \(\forall z\in\Cc,\;\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}\) car les deux polynômes ci-contre coincident en une infinité de valeurs de \(z\).)

En particulier, \(\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega_k)=1+1^2+...+1^{n-1}=n\) ou encore \(\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)=(-1)^{n-1}n\). Donc,

\[\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n^n(n+1)}{2}\frac{1}{(-1)^{n-1}n}=\frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}(n+1)}{2}.\]

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