Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) d’un ouvert \(\Omega\) de \({\Rr}^n\) dans \({\Rr}^n\) telle que \(f(0)=0\). On considère l’équation différentielle
\[(1)\qquad {dx\over dt}= f(x).\]
Soit \(F\) un difféomorphisme de classe \(C^1\) de \(\Omega\) sur un ouvert \(\Omega_1\) de \({\Rr}^n\) tel que \(F(0)=0\), et on note \(G\) le difféomorphisme inverse. Montrer que si \(\varphi\) est solution de \((1)\), \(\psi=F\circ\varphi\) est solution de l’équation
\[(2)\qquad {dy\over dt}= g(y),\]
où \(g\) est une application de classe \(C^1\) de \(\Omega_1\) dans \({\Rr}^n\) que l’on déterminera.
On suppose maintenant \(n=3\).
Montrer que l’application \(F\) de \({\Rr}^3\) dans \({\Rr}^3\) définie par \(F(x_1,x_2,x_3)=(2x_2-x_3, x_1-x_2^2, x_3)\) est un difféomorphisme de \({\Rr}^3\) de classe \(C^\infty\) tel que \(F(0)=0\).
Déduire à l’aide de a) et b) les solutions de l’équation différentielle \[\begin{array}{ccc} {dx_1\over dt} & =&2(x_1-x_2^2)-2x_2+x_3+2x_2(x_1-x_2^2+5x_2-x_3)\\ {dx_2\over dt} & =&x_1-x_2^2+5x_2-x_3\\ {dx_3\over dt} & =&2(x_1-x_2^2)+4x_2+x_3 \end{array}\]