On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont définies sur \(\Rr\) tout entier.
1
Soit \(\varphi\) la solution maximale de condition initiale \(\varphi(0)=a,\varphi(0)=0\); montrer que \(\varphi'(t)^2=2(\cos x(t)- \cos a)\) et en déduire que \(|x(t)|\leq a\) pour tout \(t\).
2
Soit \(y''=-y,\ y(0)=a,\ y'(0)=0\) le problème linéarisé correspondant. Montrer que \(Z\) définie par \(Z=(x-y,\ x'-y')\) vérifie un système différentiel du premier ordre de la forme \(Z'(t)=AZ(t)+B(t)\), où \(A\) est antisymétrique. En déduire, pour tout \(t\), \(|x(t)-y(t)|\leq {a^3\over6}|t|\).