Soit \(V\) un champ de vecteurs défini sur \(\Omega\subset\Rr^n\). On dit qu’une application \(h:\Omega\to\Rr\) de classe \(C^1\) est une intégrale première de \(V\), si \(h\circ\varphi(t)\) est constante sur \(J\) pour toute solution \((\varphi, J)\) de l’équation autonome associée. On suppose le champ de classe \(C^1\) sur \(\Omega\).
Montrer que \(h\) est une intégrale première de \(V\) si et seulement si
\(h'(x).V(x)=0\) pour tout \(x\in\Omega\).
Donner une intégrale première sur \(\Rr^n\) du système différentiel \(X'=AX\) où \(A\) est une matrice antisymétrique \(n\times n\) (commencer avec \(n=2\)).
Soit \(f\) une application de classe \(C^\infty\) de \(\Rr\) dans \(\Rr\) telle que \(f(0)=0\), et on note \(F(x)=\int_0^xf(u)\ du\).
Montrer que la fonction \((x,y)\to y^2+2F(x)\) est une intégrale première sur \(\Rr^2\) du champ de vecteurs \(V(x,y)=(y,\ -f(x))\) défini sur \(\Rr^2\). On suppose que \(F\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(\pm\infty\). Montrer que si une solution \((x(t),y(t))\) de \(X'=V(X)\) est définie sur un intervalle quelconque \(I\), les fonctions \(x\) et \(y\) sont bornées sur \(I\) (remarquer que \(F\) est bornée inférieurement).