Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur propre de \(A\}\). On va montrer sur un exemple que l’on peut calculer \(f(A)\) pour toute \(f\) somme d’une série entière de rayon \(>\rho\).
Soit donc \(A\) un opérateur de \(\Rr^n\) tel que \((A-I)^2(A-2I)=0\).
On note \(E_1=\ker (A-I)^2\), \(E_2=\ker (A-2I)\), \(p_i\) le projecteur sur \(E_i\) (parallèlement à l’autre). Calculer \(p_1\) et \(p_2\) en fonction de \(A\) (Solution : \(p_1=-A(A-2I)\) et \(p_2=(A_I)^2\).)
Calculer \(A^nx\) pour \(x\in E_1\), puis \(x\in E_2\). Déduire de a) l’expression de \(A^n\) pour tout \(n\geq 0\) (Solution : \(A^n=(I+n(A-I))A(2I-A)+2^n(A_I)^2\)).
Soit \(f\) un polynôme de degré \(>2\) et \(P\) le polynôme minimal de \(A\). Montrer que \({f(x)\over P(x)}=g(x)+{f(2)\over x-2}-{xf(1)\over (x-1)^2}-{f'(1)\over x-1}\) où \(g\) est lui-même un polynôme. En déduire \(f(A)\) pour \(f\) polynôme puis \(f\) somme d’une série entière de rayon \(>2\).
Trouver ainsi \(e^{tA}\) si \(t\in\Rr\) et résoudre le système \(x'=A.x\) où \(A=\)??