Soit \(E\) un espace de Banach et \(t\to A(t)\) une application continue de \(\Rr\) dans \({\cal L}(E,E)\). On suppose que \(A\) est périodique de période \(\omega\). Cela n’implique pas nécessairement que les solutions de \(\quad (1)\quad x'=A(t).x\) soient également \(\omega\)-périodiques.
Dans le cas où \(E\) est un espace de dimension \(2\) et \(A\) est une matrice constante, donner une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions de \((1)\) soient \(\omega\)-périodiques.
Dans le cas général, soit \(R(t,a)\) le noyau résolvant associé à \((1)\).
Montrer que \(R(t+\omega,a+\omega)=R(t,a)\) pour tout \(t\).
Montrer que la solution \(x(t)\) de \((1)\) telle que \(x(0)=x_0\) est \(\omega\)-périodique si et seulement si \(R(\omega,0)x_0=x_0\).
A quelle condition l’équation \(x'=A(t).x\) a-t-elle une solution \(\omega\)-périodique ?.