1
Montrer que la matrice \(\begin{pmatrix}e^{-2t}\cos t & -\sin t\cr e^{-2t}\sin t & \cos t\cr\end{pmatrix}\) est la résolvante du système linéaire \(x'(t)=A(t).x(t)\) où \[A(t)=\begin{pmatrix}-2\cos^2 t & -1-\sin 2t\cr 1-\sin 2t & -2\sin^2 t\cr\end{pmatrix}.\] En déduire la solution du système \(x'(t)=A(t).x(t)+ b(t)\) avec \(b(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\cos t \cr e^{-t}\sin t \cr\end{pmatrix}\)
2
On considère maintenant l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}+x(t)=f(t)\) où \(f\) est une application continue sur \(\Rr\). En appliquant la méthode de variation de Lagrange, trouver la solution du système telle que \(x(0)=x_0\).