Posons, pour $n$ naturel non nul, $P=(X^2+1)^n-(X-1)^{2n}$ .

$\begin{align*} P&=X^{2n}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right)-X^{2n}+2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\;\leq2n-2\right)\\ &=2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right). \end{align*}$ Donc $\mbox{deg}(P)=2n-1$ et $P$ admet dans $\Cc$ , $2n-1$ racines, distinctes ou confondues.

$\begin{align*} (z^2+1)^n=(z-1)^{2n}&\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;z^2+1=\omega_k(z-1)^2\;\mbox{où}\;\omega_k=e^{2ik\pi/n}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;(1-\omega_k)z^2+2\omega_kz+(1-\omega_k)=0 \end{align*}$ Si $k=0$ , l’équation précédente s’écrit $2z=0$ ou encore $z=0$ . Si $k$ est élément de $\llbracket1,n-1\rrbracket$ , $\Delta_k'=\omega_k^2-(1-\omega_k)^2=2\omega_k-1=2e^{2ik\pi/n}-1$ . Soit $d_k$ une racine carrée dans $\Cc$ de $\Delta_k'$ (difficile à expliciter semble-t-il). On a $S=\{0\}\cup\left\{\frac{-e^{2ik\pi/n}\pm d_k}{1-e^{2ik\pi/n}},k\in\llbracket1,n-1\rrbracket\right\}$ .

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