Posons, pour \(n\) naturel non nul, \(P=(X^2+1)^n-(X-1)^{2n}\).

\[\begin{align*} P&=X^{2n}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right)-X^{2n}+2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\;\leq2n-2\right)\\ &=2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right). \end{align*}\] Donc \(\mbox{deg}(P)=2n-1\) et \(P\) admet dans \(\Cc\), \(2n-1\) racines, distinctes ou confondues.

\[\begin{align*} (z^2+1)^n=(z-1)^{2n}&\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;z^2+1=\omega_k(z-1)^2\;\mbox{où}\;\omega_k=e^{2ik\pi/n}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;(1-\omega_k)z^2+2\omega_kz+(1-\omega_k)=0 \end{align*}\] Si \(k=0\), l’équation précédente s’écrit \(2z=0\) ou encore \(z=0\). Si \(k\) est élément de \(\llbracket1,n-1\rrbracket\), \(\Delta_k'=\omega_k^2-(1-\omega_k)^2=2\omega_k-1=2e^{2ik\pi/n}-1\). Soit \(d_k\) une racine carrée dans \(\Cc\) de \(\Delta_k'\) (difficile à expliciter semble-t-il). On a \(S=\{0\}\cup\left\{\frac{-e^{2ik\pi/n}\pm d_k}{1-e^{2ik\pi/n}},k\in\llbracket1,n-1\rrbracket\right\}\).

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