Soient \(z\) un complexe non nul, \(M\) le point d’affixe \(z\) et \(A\) le point d’affixe \(1\).

\[|z|=\left|\frac{1}{z}\right|\Leftrightarrow|z|=\frac{1}{|z|}\Leftrightarrow|z|^2=1\Leftrightarrow|z|=1,\] et

\[|z|=|z-1|\Leftrightarrow OM=AM\Leftrightarrow M\in\mbox{med}[OA]\Leftrightarrow x_M=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\Re(z)=\frac{1}{2}.\] Donc,

\[|z|=\left|\frac{1}{z}\right|=|z-1|\Leftrightarrow|z|=1\;\mbox{et}\;\Re(z)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow z=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow z=-j\;\mbox{ou}\;z=-j^2.\]

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