exo7 46

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et tout nombre $z\in\mathbb{C}$, on a: $$\left(z-1\right)\left(1+z+z^2+...+z^{n-1}\right)=z^n-1,$$ et en déduire que, si $z\neq 1$, on a: $$1+z+z^2+...+z^{n-1}=\frac{z^n-1}{z-1}.$$

Vérifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a $\exp(ix)-1=2i\exp\left(\frac{ix}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right).$

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer pour tout $x\in\mathbb{R}$ la somme: $$Z_n=1+\exp(ix)+\exp(2ix)+...+\exp((n-1)ix),$$ et en déduire les valeurs de $$\begin{aligned} X_n&=&1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos((n-1)x)\\ Y_n&=&\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin((n-1)x). \end{aligned}$$