1
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on a: \[\left(z-1\right)\left(1+z+z^2+...+z^{n-1}\right)=z^n-1,\] et en déduire que, si \(z\neq 1\), on a: \[1+z+z^2+...+z^{n-1}=\frac{z^n-1}{z-1}.\]
2
[Q2] Vérifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) , on a \(\exp(ix)-1=2i\exp\left(\frac{ix}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right).\)
3
[Q3] Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Calculer pour tout \(x\in\mathbb{R}\) la somme: \[Z_n=1+\exp(ix)+\exp(2ix)+...+\exp((n-1)ix),\] et en déduire les valeurs de \[\begin{aligned} X_n&=&1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos((n-1)x)\\ Y_n&=&\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin((n-1)x).\end{aligned}\]