Tout polynôme à coefficients complexes non constant est surjectif sur $\C$ donc $P(\C)\subset\R \Leftrightarrow P = a$ (constante réelle).

On a par interpolation de Lagrange : $P(\Q)\subset\Q \Leftrightarrow P\in\Q[X]$ .

Montrons que $P(\Q)=\Q \Leftrightarrow P=aX+b$ avec $a\in\Q^*$ , $b\in\Q$ : la condition est clairement suffisante. Pour prouver qu’elle est nécessaire, considérons un polynôme éventuel $P$ de degré $n\ge 2$ tel que $P(\Q)=\Q$ . On sait déjà que $P$ est à coefficients rationnels, donc on peut l’écrire sous la forme : $P = \frac{a_0+a_1X+\dots+a_nX^n}d$ avec $a_i\in\Z$ , $a_n\ne 0$ et $d\in\N^*$ . Soit $\pi$ un nombre premier ne divisant ni $a_n$ ni $d$ , et $x=p/q$ (forme irréductible) un rationnel tel que $P(x) = 1/\pi$ . On a donc : $\pi(a_0q^n+\dots+a_np^n) = dq^n$ ce qui implique que $\pi$ divise $q$ . Il vient alors : $a_np^n = dq^n/\pi - a_0q^n - \dots -a_{n-1}qp^{n-1}$ ce qui est impossible puisque $\pi$ est facteur du second membre ( $n\ge 2$ ) mais pas du premier ( $p\wedge q = 1$ ).

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