Si \(u\) est inversible,

\(\text{det}(u+v)=\text{det}u\Leftrightarrow\text{det}u\times\text{det}(Id+u^{-1}v) =\text{det}u\Leftrightarrow\text{det}(Id+u^{-1}v)=1\).

\(u\) et \(v\) commutent et donc \(u^{-1}\) et \(v\) également car \(uv=vu\Rightarrow u^{-1}uvu^{-1}= u^{-1}vuu^{-1}\Rightarrow vu^{-1}=u^{-1}v\). Mais alors, puisque \(v\) est nilpotent, l’endomorphisme \(w = u^{-1}v\) l’est également car \((u^{-1}v)^p =u^{-p}v^p)\).

Il reste donc à calculer \(\text{det}(Id+w)\) où \(w\) est un endomorphisme nilpotent. On remarque que \(\text{det}(Id+w)=\chi_w(-1)\). Il est connu que \(0\) est l’unique valeur propre d’un endomorphisme nilpotent et donc \(\chi_w=(-X)^n\) puis

\(\text{det}(Id+w)=\chi_w(-1)=(-(-1))^n = 1\).

Le résultat est donc démontré dans le cas où \(u\) est inversible. Si \(u\) n’est pas inversible, \(u+xId\) est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de \(x\) et commute toujours avec \(v\). Donc, pour tout \(x\) sauf peut-être pour un nombre fini, \(\text{det}(u+xId+v)=\text{det}(u+xId)\). Ces deux polynômes coïncident en une infinité de valeurs de \(x\) et sont donc égaux. Ils prennent en particulier la même valeur en \(0\) ce qui refournit \(\text{det}(u+v)=\text{det}u\).

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