Soit \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&-1&0 \\ -1&2&-1\end{pmatrix}\] et \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) associé.
1
Factoriser le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de \(A\).
3
Démontrer qu’il existe une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \[B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0&-1&2 \\ 0&0&-1\end{pmatrix}\] et trouver une matrice \(P\) inversible telle que \(AP=PB\) (ou \(A=PBP^{-1}\)).
4
Ecrire la décomposition de Dunford de \(B\) (justifier).
5
Pour \(t\in\R\), calculer \(\exp tB\).
6
Donner les solutions des systèmes différentiels \(y'=By\) et \(x'=Ax\), où \(x\) et \(y\) désignent des fonctions réelles à valeurs dans \(\R^3\).