({\it 9 points}) Soit $A$ la matrice de $M_3(\R)$ suivante :
$$A=\begin{pmatrix}1&0&1
-1&2&1
1&-1&1\end{pmatrix}$$
\begin {enumerate}
1
Démontrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(1\) et \(2\).
2
Déterminer les sous-espaces propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
3
Déterminer les sous-espaces caractéristiques de \(A\).
4
Déterminer une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associé à \(A\) est \[B=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\] En déduire la décomposition de Dunford de \(B\).
5
R\'esoudre le syst\`eme diff\'erentiel
$$\left\{$$\begin{align*}x'&=x+z
y'&=-x+2y+z
z'&=x-y+z\end{align*}$$\right.$$
\end {enumerate}