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Démontrer que les valeurs propres de $A$ sont $1$ et $2$.

Déterminer les sous-espaces propres de $A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Déterminer les sous-espaces caractéristiques de $A$.

Déterminer une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associé à $A$ est $$B=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ En déduire la décomposition de Dunford de $B$.

Résoudre le système différentiel

$$\left\{\begin{aligned}x'&=x+z \\ y'&=-x+2y+z \\ z'&=x-y+z\end{aligned}\right.$$