L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 3 questions

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Soit $u\in\mathcal{L}(\R^4)$ de matrice dans la base canonique : $A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \right).$

Déterminer le polynôme caractéristique $P_u$ de $u$ . Trouver les valeurs propres et les sous-espaces caractéristiques $F_i$ .

Donner une base suivant laquelle la matrice de $u$ se décompose en deux blocs diagonaux.

Donner les projections $p_i$ de $\R^4$ sur $F_i$ .