Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : \[A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \right).\]
1
Déterminer le polynôme caractéristique \(P_u\) de \(u\). Trouver les valeurs propres et les sous-espaces caractéristiques \(F_i\).
2
Donner une base suivant laquelle la matrice de \(u\) se décompose en deux blocs diagonaux.
3
Donner les projections \(p_i\) de \(\R^4\) sur \(F_i\).