L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 4 questions

exo7 3531

Soit $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R$ et $A_n=\begin{pmatrix}a_1+b_1 & b_2 &\dots &\dots &b_n\cr b_1 &a_2+b_2 & b_3 &\dots &b_n\cr \vdots &b_2 &\ddots &\vdots &\vdots\cr \vdots &\vdots & & \ddots& \vdots\cr b_1 & b_2 & \dots &b_{n-1} & a_n+b_n\cr\end{pmatrix}$

Calculer $\det A_n$ .

Calculer $\chi_A$ le polynôme caractéristique de $A$ .

On suppose $a_1<a_2<\dots <a_n$ et, pour tout $i$ , $b_i>0$ . Montrer que $A_n$ est diagonalisable $\Bigl($ on pourra utiliser ${\chi_A(t)}/{\prod_{i=1}^n(a_i-t)}\Bigr)$ .

Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$ et, pour tout $i$ , $b_i>0$ ?