Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et \(A_n=\begin{pmatrix}a_1+b_1 & b_2 &\dots &\dots &b_n\cr b_1 &a_2+b_2 & b_3 &\dots &b_n\cr \vdots &b_2 &\ddots &\vdots &\vdots\cr \vdots &\vdots & & \ddots& \vdots\cr b_1 & b_2 & \dots &b_{n-1} & a_n+b_n\cr\end{pmatrix}\)
1
Calculer \(\det A_n\).
2
Calculer \(\chi_A\) le polynôme caractéristique de \(A\).
3
On suppose \(a_1<a_2<\dots <a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\). Montrer que \(A_n\) est diagonalisable \(\Bigl(\)on pourra utiliser \({\chi_A(t)}/{\prod_{i=1}^n(a_i-t)}\Bigr)\).
4
Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose \(a_1\le a_2\le \dots \le a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\) ?