Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante \[A=\begin{pmatrix}0&1 \\ -a&1+a\end{pmatrix}.\] On définit une suite \((u_n)_{n\in\N}\), par la donnée de \(u_0\) et \(u_1\) et la relation de récurrence suivante, pour \(n\in\N\) \[u_{n+2}=(1+a)u_{n+1}-au_n\]
1
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
2
Lorsque \(A\) est diagonalisable, calculer \(A^n\) pour \(n\in \N\).
3
On suppose \(A\) diagonalisable. On note \(U_n\) le vecteur \(U_{n}=\begin{pmatrix}u_{n} \\ u_{n+1}\end{pmatrix}\), exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\) et de \(A\), puis \(U_n\) en fonction de \(U_0\) et de \(A\).