L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 2591

Soit $a\in\R$ , notons $A$ la matrice suivante $A=\begin{pmatrix}0&1 \\ -a&1+a\end{pmatrix}.$ On définit une suite $(u_n)_{n\in\N}$ , par la donnée de $u_0$ et $u_1$ et la relation de récurrence suivante, pour $n\in\N$ $u_{n+2}=(1+a)u_{n+1}-au_n$

Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Lorsque $A$ est diagonalisable, calculer $A^n$ pour $n\in \N$ .

On suppose $A$ diagonalisable. On note $U_n$ le vecteur $U_{n}=\begin{pmatrix}u_{n} \\ u_{n+1}\end{pmatrix}$ , exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et de $A$ , puis $U_n$ en fonction de $U_0$ et de $A$ .