Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes \(\{\lambda_{1},...,\lambda_{n}\}\).
Montrer que l’ensemble \(\mathrm{Com}=\{v\in\mathcal{L}(E,E)/ uv=vu\}\) des endomorphismes de \(E\) qui commutent avec \(u\) est un espace vectoriel.
Soit \(v\) un élément de \(\mathrm{Com}\). Montrer que \(v\) préserve les espaces propres de \(u\) (c’est à dire que si \(E_{\lambda}\) est un espace propre de \(u\) associé à la valeur propre \(\lambda\), on a \(\forall x\in E_{\lambda}, v(x)\in E_{\lambda}\)).
Donner la dimension des espaces propres de \(u\) et montrer que si \(x\) est un vecteur propre de \(u\) alors c’est aussi un vecteur propre de \(v\).
A l’aide d’une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de \(\mathrm{Com}\), et montrer que \(\mathrm{Com}\) est de dimension \(n\).