Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: \[U= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right)\] la matrice d’un endomorphisme \(u\) de \(E\) dans la base canonique de \(E\).
Calculer le polynôme caractéristique de \(u\). Déterminer les sous-espaces propres \(E_1\) et \(E_2\). Pourquoi \(u\) est-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ?
Déterminer les sous-espaces caractéristiques \(F_1\) et \(F_2\). Pour \(k=1,2\), donner l’ordre \(\beta_k\) du nilpotent \((u-\lambda_k. \mathrm{id}_E)\vert_{F_k}\) (\(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=2\)).
Si \(v\in F_2\) et \(v\notin \ker(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}\), montrer que \(f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}(v)\), \(f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-2}(v)\), …, \(f_{\beta_2}=v\) forment une base de \(F_2\).
On note \(f=\left\lbrace f_1,\ldots,f_4\right\rbrace\) la complétée de la base précédente par une base de \(F_1\). Vérifier que \(T=[u]_f^f\) est triangulaire. Décomposer \(T\) sous la forme \(D+N\), où \(D\) est diagonale, \(N\) est nilpotente, et \(DN=ND\). Calculer \(T^5\).