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Calculer le polynôme caractéristique de $u$. Déterminer les sous-espaces propres $E_1$ et $E_2$. Pourquoi $u$ est-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ?

Déterminer les sous-espaces caractéristiques $F_1$ et $F_2$. Pour $k=1,2$, donner l’ordre $\beta_k$ du nilpotent $(u-\lambda_k. \mathrm{id}_E)\vert_{F_k}$ ($\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$).

Si $v\in F_2$ et $v\notin \ker(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}$, montrer que $f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}(v)$, $f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-2}(v)$, …, $f_{\beta_2}=v$ forment une base de $F_2$.

On note $f=\left\lbrace f_1,\ldots,f_4\right\rbrace$ la complétée de la base précédente par une base de $F_1$. Vérifier que $T=[u]_f^f$ est triangulaire. Décomposer $T$ sous la forme $D+N$, où $D$ est diagonale, $N$ est nilpotente, et $DN=ND$. Calculer $T^5$.