exo7 1634

On suppose que $f$ est diagonalisable. On note $\alpha_{1},...,\alpha_{r}$ les valeurs propres (distinctes) de $A$, et $E_{1},...,E_{r}$ les espaces propres associés.

Montrer que si $\mathrm{Ker} f=\{0\}$ alors $\mathrm{Ker} f^{2}=\{0\}$.

On suppose maintenant que $\mathrm{Ker} f\neq\{0\}$. On note $\alpha_{\alpha_{1}},...,\alpha_{\alpha_{r}}$ les autres valeurs propres de $f$, et $E_{0},...,E_{r}$ ses espaces propres. En utilisant que $E=E_{0}\oplus E_{1}\oplus ...\oplus E_{r}$, montrer que si $f^{2}(x)=0$ alors $f(x)=0$. En déduire que $\mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2$.