On considère un endomorphisme \(f\) d’un \(\C\) espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\), tel que \(f^2\) est diagonalisable. Le but de cet exercice est de démontrer que : \[f\text{ est diagonalisable }\Leftrightarrow \mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2\]
On suppose que \(f\) est diagonalisable. On note \(\alpha_{1},...,\alpha_{r}\) les valeurs propres (distinctes) de \(A\), et \(E_{1},...,E_{r}\) les espaces propres associés.
Montrer que si \(\mathrm{Ker} f=\{0\}\) alors \(\mathrm{Ker} f^{2}=\{0\}\).
On suppose maintenant que \(\mathrm{Ker} f\neq\{0\}\). On note \(\alpha_{\alpha_{1}},...,\alpha_{\alpha_{r}}\) les autres valeurs propres de \(f\), et \(E_{0},...,E_{r}\) ses espaces propres. En utilisant que \(E=E_{0}\oplus E_{1}\oplus ...\oplus E_{r}\), montrer que si \(f^{2}(x)=0\) alors \(f(x)=0\). En déduire que \(\mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2\).