L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 2575

(4 points) On suppose qu’une population $x$ de lapins et une population $y$ de loups sont gouvernées par le système suivant d’équations différentielles : $(S)\ \ \left\{ \begin{aligned}x'&= 4x-2y \\ y'&= x+y\end{aligned}\right.$

Diagonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}4&-2 \\ 1&1 \\ \end{pmatrix}.$

Exprimer le système $(S)$ et ses solutions dans une base de vecteurs propres de $A$ .

Représenter graphiquement les trajectoires de $(S)$ dans le repère $(Oxy)$ .

Discuter graphiquement l’évolution de la population des lapins en fonction des conditions initiales.