({\it 4 points}) On suppose qu'une population $x$ de lapins et une population $y$ de loups sont gouvern\'ees par le syst\`eme suivant d'\'equations diff\'erentielles :
$$(S)\ \ \left\{ $$\begin{align*}x'&= 4x-2y
y'&= x+y\end{align*}$$\right.$$
\begin {enumerate}
1
Diagonaliser la matrice \[A=\begin{pmatrix}4&-2 \\ 1&1 \\ \end{pmatrix}.\]
2
Exprimer le système \((S)\) et ses solutions dans une base de vecteurs propres de \(A\).
3
Représenter graphiquement les trajectoires de \((S)\) dans le repère \((Oxy)\).
4
Discuter graphiquement l'\'evolution de la population des lapins en fonction des conditions initiales. \end {enumerate}