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Soit \(A_{t}\) la matrice \(A_{t}= \begin{pmatrix} t & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & t & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & t \end{pmatrix}\). Sans calculer le polynôme caractéristique de \(A_{t}\), montrer que \((t-1)\) est valeur propre. Déterminer l’espace propre associé. Que dire de la multiplicité de la valeur propre \((t-1)\) ? En déduire le spectre de \(A_{t}\). \(A_{t}\) est-elle diagonalisable ?