exo7 1626

Soit $A_{t}$ la matrice $A_{t}= \begin{pmatrix} t & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & t & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & t \end{pmatrix}$. Sans calculer le polynôme caractéristique de $A_{t}$, montrer que $(t-1)$ est valeur propre. Déterminer l’espace propre associé. Que dire de la multiplicité de la valeur propre $(t-1)$ ? En déduire le spectre de $A_{t}$. $A_{t}$ est-elle diagonalisable ?