Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\R)\) telles que \[AB-BA=A\] Le but de cet exercice est de montrer que \(A\) est nilpotente, c’est à dire \[\exists k\in\N, A^{k}=0.\]
On note \(E\) l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{n}(\R)\) et on considère l’application : \[\displaystyle \psi \begin{array}{ccc} E & \rightarrow & E \\ M &\mapsto & MB-BM \end{array}\]
1
Montrer que \(\psi\) est linéaire de \(E\) dans \(E\).
2
Montrer par récurrence que : \(\forall k\in\N\quad \psi(A^{k})=kA^{k}\).
3
On suppose que \(\forall k\in\N, A^{k}\neq0\). Montrer que \(\psi\) a une infinité de valeurs propres.
4
Conclure.