L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 4 questions

exo7 1607

Soient AA et BB deux matrices de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\R) telles que AB−BA=AAB-BA=A Le but de cet exercice est de montrer que AA est nilpotente, c’est à dire ∃k∈N,Ak=0.\exists k\in\N, A^{k}=0.

On note EE l’espace vectoriel Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\R) et on considère l’application : ψE→EM↦MB−BM\displaystyle \psi \begin{array}{ccc} E & \rightarrow & E \\ M &\mapsto & MB-BM \end{array}

1

Montrer que ψ\psi est linéaire de EE dans EE.

2

Montrer par récurrence que : ∀k∈Nψ(Ak)=kAk\forall k\in\N\quad \psi(A^{k})=kA^{k}.

3

On suppose que ∀k∈N,Ak≠0\forall k\in\N, A^{k}\neq0. Montrer que ψ\psi a une infinité de valeurs propres.

4

Conclure.

Exercice 402b

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