Soit \(K=\Z/p\Z\). Il faut en fait prouver que pour toute matrice \(A\in\mathcal{M}_n(K)\) on a \(\mathrm{tr}(A^p)=\mathrm{tr}(A)\). Remarquer qu’on n’a pas forcément \(A^p=A\) dans \(\mathcal{M}_n(K)\), c’est faux, entre autres, si \(A\) est nilpotente d’indice 2. Soit \(X\) une indéterminée sur \(K\). On a dans l’anneau \(\mathcal{M}_n(K[X])\) : \((A-XI_n)^p = A^p-X^pI_n\), d’où, en prenant les déterminants : \(\chi_{A^p}(X^p) = \chi_A(X)^p = \chi_A(X^p)\) et on égale les coefficients de \(X^{(n-1)p}\).

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