Soit $f$ un endomorphisme d’un ev $E$ ayant $A$ pour matrice. On doit trouver $g\in GL(E)$ tel que $f\circ g = 2g\circ f$ . Construction de $g$ par récurrence sur $n=\dim E$ .

$n\le1$ : on a $f=0$ donc $g=\mathrm{id}_E$ convient.

$0,\dots,n-1 \Rightarrow n$ : $f$ est non surjectif donc l’hypothèse de récurrence s’applique à $f_{|\Im(f)}$ . Soit $g_1\in GL(\Im(f))$ tel que $f(g_1(x)) = 2g_1(f(x))$ pour tout $x\in\Im(f)$ . Soit $E = H \oplus I \oplus K \oplus L$ avec $H=\Im(f)\cap\mathrm{Ker}(f)$ , $H \oplus I = \Im(f)$ et $H \oplus K = \mathrm{Ker}(f)$ . La restriction de $f$ à $I\oplus L$ induit un isomorphisme sur $\Im(f)$ , on note $\varphi$ l’isomorphisme réciproque. Soit $g\in\mathcal{L}(E)$ définie par :

$g(h+i+k+\ell) = g_1(h+i) + k + 2\varphi(g_1(f(\ell))).$

On vérifie facilement que $f\circ g = 2g\circ f$ et il reste à prouver que $g$ est injective. Si $x=h+i+k+\ell\in\mathrm{Ker} g$ alors $g(f(x)) = g_1(f(i+\ell)) = 0$ donc $i+\ell\in\mathrm{Ker} f = H\oplus K$ soit $i=\ell=0$ . Il reste $g_1(h)+k=0$ ce qui implique $h=k=0$ car $g_1(h)\in \Im f = H\oplus I$ .

Remarque : la démonstration passe à tout corps de caractéristique différente de $2$ .

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