Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une matrice \(A\in{\cal M}_n(\R)\) telle que \(A^2=-I_n\), où \(I_n\) désigne la matrice identité d’ordre \(n\). On notera \(f\) l’endomorphisme de \(E\) de matrice \(A\) dans la base canonique.
Démontrer que l’existence d’une telle matrice implique la parité de \(n\).
On suppose maintenant que \(n=4\).
Démontrer que pour tout \(\vec x\in E\), \(\vec x\neq 0\), les vecteurs \(\vec x\) et \(f(\vec x)\) sont linéairement indépendants.
Soit \(\vec x_1\neq0\), on note \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les vecteurs \(\vec x_1\) et \(f(\vec x_1)\).
Démontrer que \(F\) est stable par \(f\).
Soit \(\vec x_2\in E\), on suppose que \(\vec x_2\not\notin F\), démontrer que \({\cal B}=(\vec x_1,f(\vec x_1),\vec x_2,f(\vec x_2))\) est une base de \(E\).