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Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ . On cherche à déterminer une matrice $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n$ , où $I_n$ désigne la matrice identité d’ordre $n$ . On notera $f$ l’endomorphisme de $E$ de matrice $A$ dans la base canonique.

Démontrer que l’existence d’une telle matrice implique la parité de $n$ .

On suppose maintenant que $n=4$ .

Démontrer que pour tout $\vec x\in E$ , $\vec x\neq 0$ , les vecteurs $\vec x$ et $f(\vec x)$ sont linéairement indépendants.

Soit $\vec x_1\neq0$ , on note $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les vecteurs $\vec x_1$ et $f(\vec x_1)$ .

Démontrer que $F$ est stable par $f$ .

Soit $\vec x_2\in E$ , on suppose que $\vec x_2\not\notin F$ , démontrer que ${\cal B}=(\vec x_1,f(\vec x_1),\vec x_2,f(\vec x_2))$ est une base de $E$ .

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