Soit \(k\in\Nn^*\).

\[\begin{align*}\ensuremath f^kg-fg^k&=f^kg-f^{k-1}gf+f^{k-1}gf-f^{k-2}gf^2+f^{k-2}gf^2-\ldots-fgf^{k-1}+fgf^{k-1}-gf^k\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}(f^{k-i}gf^i-f^{k-i-1}gf^{i+1})=\sum_{i=0}^{k-1}f^{k-i-1}(fg-gf)f^i=\sum_{i=0}^{k-1}f^{k-i-1}ff^i\\ &=kf^k. \end{align*}\]

Ainsi,

1ère solution. Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&\mathcal{L}(E)&\rightarrow&\mathcal{L}(E)\\ &h&\mapsto&hg-gh \end{array}\). \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal{L}(E)\) et \(\forall k\in\Nn^*\), \(\varphi(f^k)=kf^k\). Si, pour \(k\in\Nn^*\) donné, \(f^k\) n’est pas nul, \(f^k\) est valeur propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(k\). Par suite, si aucun des \(f^k\) n’est nul, \(\varphi\) admet une infinité de valeurs propres deux à deux distinctes. Ceci est impossible car \(\text{dim}(\mathcal{L}(E))<+\infty\). Donc, \(f\) est nilpotent.

2ème solution. Les égalités \((*)\) peuvent s’écrire \(P(f)g-gP(f)=fP'(f)\), \((**)\), quand \(P\) est un polynôme de la forme \(X^k\), \(k\in\Nn\). Par linéarité, les égalités \((**)\) sont vraies pour tout polynôme \(P\).

En particulier, l’égalité \((**)\) est vraie quand \(P\) est \(Q_f\) le polynôme minimal de \(f\) et donc

\(fQ_f'(f)=Q_f(f)g-gQ_f(f)=0\).

Le polynôme \(XQ_f'\) est donc un polynôme annulateur de \(f\) et on en déduit que le polynôme \(Q_f\) divise le polynôme \(XQ_f'\). Plus précisément, si \(p\in\Nn^*\) est le degré de \(Q_f\), les polynômes \(pQ_f\) ayant mêmes degrés et mêmes coefficients dominants, on en déduit que \(pQ_f=XQ_f'\) ou encore que

\(\frac{Q_f'}{Q_f}=\frac{p}{X}\).

Par identification à la décomposition en éléments simples usuelles de \(\frac{Q_f'}{Q_f}\), on en déduit que \(Q_f=X^p\). En particulier, \(f^p=0\) et encore une fois \(f\) est nilpotent.

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