Soit $k\in\Nn^*$ .

$\begin{align*}\ensuremath f^kg-fg^k&=f^kg-f^{k-1}gf+f^{k-1}gf-f^{k-2}gf^2+f^{k-2}gf^2-\ldots-fgf^{k-1}+fgf^{k-1}-gf^k\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}(f^{k-i}gf^i-f^{k-i-1}gf^{i+1})=\sum_{i=0}^{k-1}f^{k-i-1}(fg-gf)f^i=\sum_{i=0}^{k-1}f^{k-i-1}ff^i\\ &=kf^k. \end{align*}$

Ainsi,

si $fg-gf=f$ , alors $\forall k\in\Nn$ , $f^kg-gf^k=kf^k$ $(*)$ .

1ère solution. Soit $\begin{array}{cccc} \varphi~:&\mathcal{L}(E)&\rightarrow&\mathcal{L}(E)\\ &h&\mapsto&hg-gh \end{array}$ . $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E)$ et $\forall k\in\Nn^*$ , $\varphi(f^k)=kf^k$ . Si, pour $k\in\Nn^*$ donné, $f^k$ n’est pas nul, $f^k$ est valeur propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $k$ . Par suite, si aucun des $f^k$ n’est nul, $\varphi$ admet une infinité de valeurs propres deux à deux distinctes. Ceci est impossible car $\text{dim}(\mathcal{L}(E))<+\infty$ . Donc, $f$ est nilpotent.

2ème solution. Les égalités $(*)$ peuvent s’écrire $P(f)g-gP(f)=fP'(f)$ , $(**)$ , quand $P$ est un polynôme de la forme $X^k$ , $k\in\Nn$ . Par linéarité, les égalités $(**)$ sont vraies pour tout polynôme $P$ .

En particulier, l’égalité $(**)$ est vraie quand $P$ est $Q_f$ le polynôme minimal de $f$ et donc

$fQ_f'(f)=Q_f(f)g-gQ_f(f)=0$ .

Le polynôme $XQ_f'$ est donc un polynôme annulateur de $f$ et on en déduit que le polynôme $Q_f$ divise le polynôme $XQ_f'$ . Plus précisément, si $p\in\Nn^*$ est le degré de $Q_f$ , les polynômes $pQ_f$ ayant mêmes degrés et mêmes coefficients dominants, on en déduit que $pQ_f=XQ_f'$ ou encore que

$\frac{Q_f'}{Q_f}=\frac{p}{X}$ .

Par identification à la décomposition en éléments simples usuelles de $\frac{Q_f'}{Q_f}$ , on en déduit que $Q_f=X^p$ . En particulier, $f^p=0$ et encore une fois $f$ est nilpotent.

exo7 5659