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Calculer le polynôme caractéristique de $A .$

Trouver une base $\epsilon '=\{ e_1, e_2 ,e_3 \}$ de $\R ^3$ telle que $\hbox{Mat} (f, \epsilon ')=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .$

Soit $g \in \mathcal{L} (\R ^3)$ un endomorphisme tel que $f\circ g=g\circ f .$ Montrer que $\hbox{Ker}(f-2Id)$ et $\hbox{Ker}(f-Id)^2$ sont laissés stables par $g .$ En déduire que la matrice de $g$ dans $\epsilon '$ est de la forme $\hbox{Mat} (g, \epsilon ')=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \cr 0 & a & b \cr 0 & c & d \cr \end{pmatrix}$ avec $\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} .$ Préciser les valeurs possibles de $a , b , c$ et $d .$

Soit $F=\{ B\in M_3(\R ) ; AB=BA\} .$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R ) .$ Calculer sa dimension (on pourra utiliser la question 3.).