Soit \(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \cr 1/2 & 3/2 & -1/2 \cr -1/2 & 1/2 & 3/2 \cr \end{pmatrix} \in M_3(\R )}\) et \(f\) l’endomorphisme linéaire de \(\R ^3\) ayant pour matrice \(A\) dans la base canonique \(\epsilon\) de \(\R ^3 .\)
Calculer le polynôme caractéristique de \(A .\)
Trouver une base \(\epsilon '=\{ e_1, e_2 ,e_3 \}\) de \(\R ^3\) telle que \(\hbox{Mat} (f, \epsilon ')=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .\)
Soit \(g \in \mathcal{L} (\R ^3)\) un endomorphisme tel que \(f\circ g=g\circ f .\) Montrer que \(\hbox{Ker}(f-2Id)\) et \(\hbox{Ker}(f-Id)^2\) sont laissés stables par \(g .\) En déduire que la matrice de \(g\) dans \(\epsilon '\) est de la forme \(\hbox{Mat} (g, \epsilon ')=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \cr 0 & a & b \cr 0 & c & d \cr \end{pmatrix}\) avec \(\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} .\) Préciser les valeurs possibles de \(a , b , c\) et \(d .\)
Soit \(F=\{ B\in M_3(\R ) ; AB=BA\} .\) Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(\R ) .\) Calculer sa dimension (on pourra utiliser la question 3.).